▷ Двоичная, десятичная, восьмеричная и шестнадцатеричная система, что это такое и как она работает

Если вы учитесь в области компьютерных наук, электроники или какой-либо другой отрасли техники, вам следует знать, как выполнить преобразование системы нумерации. В вычислениях используемые системы нумерации отличаются от того, что мы традиционно знаем, как наша десятичная система. Вот почему, очень вероятно, что если мы посвятим себя как вычислительной технике, так и программированию и подобным технологиям, нам нужно будет знать наиболее часто используемые системы и знать, как конвертировать из одной системы в другую.

Указатель содержания

Как выполнить преобразование системы нумерации

Особенно полезно знать систему преобразования десятичных чисел в двоичные и наоборот, поскольку это система нумерации, с которой компоненты компьютера работают напрямую. Но также очень полезно знать шестнадцатеричную систему, поскольку она используется, например, для представления цветовых кодов, ключей и большого количества кодов от нашей команды.

Системы нумерации

Система нумерации состоит из представления набора символов и правил, которые позволяют нам строить действительные числа. Другими словами, он состоит из использования серии ограниченных символов, с помощью которых можно будет формировать другие числовые значения без каких-либо ограничений.

Не вдаваясь в математические термины определений, системы, наиболее часто используемые людьми и машинами, будут следующими:

Десятичная система

Это позиционная система нумерации, в которой величины представлены арифметической базой числа десять.

Поскольку основание - число десять, у нас будет возможность построить все цифры, используя десять чисел, которые мы все знаем. 0, 1, 2 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9. Эти числа будут использоваться для представления положения степеней 10 при формировании любого числа.

Таким образом, мы могли бы представить число следующим образом в этой системе нумерации:

Мы видим, что десятичное число - это сумма каждого значения по основанию 10, возведенного в позицию-1, которую занимает каждый член. Мы будем помнить об этом для преобразований в других системах нумерации.

Бинарная система

Бинарная система - это система нумерации, в которой используется арифметическое основание 2. Эта система используется компьютерами и цифровыми системами для выполнения абсолютно всех процессов.

Эта система нумерации представлена ​​только двумя цифрами, 0 и 1, поэтому она основана на 2 (две цифры). С ней будут построены все цепочки создания стоимости.

Восьмеричная система

Как и в предыдущих объяснениях, мы уже можем представить, что это за восьмеричная система. Восьмеричная система - это система нумерации, в которой используется арифметическое основание 8, то есть у нас будет 8 разных цифр для представления всех чисел. Это будут: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 и 7.

Шестнадцатеричная система

Следуя предыдущим определениям, система десятичной нумерации представляет собой систему позиционной нумерации, основанную на числе 16. В этот момент мы спросим себя, как мы получим 16 различных чисел, если, например, 10 является комбинацией двух чисел разные?

Ну, очень просто, мы их изобрели, не мы, а те, кто изобрел данную систему. Числа, которые мы будем иметь здесь, будут: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E и F. это составляет в общей сложности 16 различных терминов. Если вы когда-либо устанавливали числовой код цвета, у него такая нумерация, и именно поэтому вы увидите, как, например, белый цвет представлен как значение FFFFFF. Позже мы увидим, что это значит.

Преобразование между двоичной и десятичной системой

Поскольку он является самым базовым и простым для понимания, мы начнем с преобразования между этими двумя системами нумерации.

Преобразовать число из двоичного в десятичное

Как мы видели в первом разделе, мы представляем десятичное число как сумму значений, умноженных на степень 10, на позицию -1, которую он занимает. Если мы применим это к любому двоичному числу с соответствующей ему базой, у нас будет следующее:

1	0	0	1	1	0
1 · 2 5	1 · 2 4	1 · 2 3	1 · 2 2	1 · 2 1	1 · 2 0

Но, конечно, если бы мы делали процедуру как в десятичной системе, мы получили бы значения, отличные от 0 и 1, которые мы можем представить только в этой системе нумерации.

Но именно это будет очень полезно для преобразования в десятичную систему. Давайте посчитаем результат каждого значения в его поле:

1	0	0	1	1	0
1 · 2 5 = 32	1 · 2 4 = 0	1 · 2 3 = 0	1 · 2 2 = 4	1 · 2 1 = 2	1 · 2 0 = 0

Хорошо, если мы получим сумму этих значений, полученных в каждой ячейке, мы получим десятичное эквивалентное значение двоичного значения.

Десятичное значение 100110 составляет 38

Нам осталось только умножить цифру (0 или 1) на ее основание (2), поднятое в положение -1, которое она занимает на рисунке. Мы добавляем значения, и у нас будет число в десятичном виде.

Если вы не были убеждены, мы сейчас выполним обратный процесс:

Преобразовать десятичное число в двоичное

Если раньше мы делали умножение чисел и суммы для определения значения в десятичном виде, то теперь нам нужно разделить десятичное число на основание системы, в которую мы хотим преобразовать его, в данном случае 2.

Мы будем выполнять эту процедуру до тех пор, пока не станет возможным дальнейшее разделение. Давайте посмотрим пример того, как это будет сделано.

номер	38	19	9	4	2	1
деление	÷ 2 = 19	÷ 2 = 9	÷ 2 = 4	÷ 2 = 2	÷ 2 = 1	-
отдых	0	1	1	0	0	1

Это результат сведение последовательных делений к минимуму. Возможно, вы уже поняли, как это работает. Если мы теперь возьмем остатки каждого деления и инвертируем его позицию, мы получим двоичное значение десятичного числа. То есть началось с того, где мы закончили деление задом наперед:

Итак, мы имеем следующий результат: 100110

Как мы видим, нам удалось получить точно такой же номер, что и в начале раздела.

Преобразование дробного десятичного числа в двоичное

Как мы хорошо знаем, существуют не только целые десятичные числа, но мы также можем найти действительные числа (дроби). И как система нумерации, должна быть возможность преобразовать число из десятичной системы в двоичную систему. Мы видим, как это сделать. Давайте возьмем число 38 375 в качестве примера

Что мы должны сделать, это отделить каждую из частей. Мы уже знаем, как вычислить целую часть, поэтому мы перейдем непосредственно к десятичной части.

Процедура будет следующей: мы должны взять десятичную часть и умножить ее на основание системы, то есть 2. В результате умножения мы должны умножить его снова, пока мы не получим дробную часть от 0. Если при выполнении умножения появляется дробное число с целой частью, нам нужно только взять дробь для следующего умножения. Давайте посмотрим на пример, чтобы понять его лучше.

номер	0375	0, 75	0, 50
умножение	* 2 = 0, 75	* 2 = 1, 50	* 2 = 1, 00
Вся часть	0	1	1

Как мы видим, мы берем десятичную часть и снова умножаем ее, пока не достигнем 1, 00, где результат всегда будет равен 0.

Результат 38, 375 в двоичном виде будет тогда 100 110, 011

Но что происходит, когда мы не можем достичь результата 1, 00 в процессе? Давайте посмотрим на пример с 38, 45

номер	0, 45	0, 90	0, 80	0, 60	0, 20	0, 40	0, 80
умножение	* 2 = 0, 90	* 2 = 1, 80	* 2 = 1, 60	* 2 = 1, 20	* 2 = 0, 40	* 2 = 0, 80	* 2 = 1, 60
Вся часть	0	1	1	1	0	0	1

Как мы видим , с 0.80 процесс становится периодическим, то есть мы никогда не закончим процедуру, потому что всегда будут появляться числа от 0, 8 до 0, 4. Тогда наш результат будет аппроксимацией десятичного числа, чем дальше мы пойдем, тем большую точность мы получим.

Итак: 38, 45 = 100 110, 01110011001 1001 …

Давайте посмотрим, как сделать обратный процесс

Преобразование дробного двоичного числа в десятичное

Этот процесс будет выполняться так же, как и обычное изменение базы, за исключением того, что от запятой полномочия будут отрицательными. Давайте просто возьмем целую часть предыдущего двоичного числа:

0	1	1	1	0	0	1	...
0 · 2 -1 = 0	1 · 2 -2 = 0, 25	1 · 2 -3 = 0, 125	1 · 2 -4 = 0, 0625	1 · 2 -5 = 0	1 · 2 -6 = 0	1 · 2 -7 = 0, 0078125	…

Если мы добавим результаты, мы получим:

0, 25 + 0, 125 + 0, 0625 + 0, 0078125 = 0, 4453

Если бы мы продолжали выполнять операции, мы бы становились все ближе и ближе к точному значению 38, 45.

Преобразование между восьмеричной системой и двоичной системой

Теперь мы рассмотрим, как выполнить преобразование между двумя не десятичными системами, для этого мы возьмем восьмеричную систему и двоичную систему и выполним ту же процедуру, что и в предыдущих разделах.

Преобразовать число из двоичного в восьмеричное

Преобразование между обеими системами нумерации очень простое, потому что основание восьмеричной системы такое же, как в двоичной системе, но возведено в степень 3, 2 ³ = 8. Исходя из этого, мы собираемся сгруппировать двоичные члены в группы по три, начиная справа налево, и напрямую преобразовать их в десятичное число. Давайте посмотрим пример с номером 100110:

1	0	0	1	1	0
100	110
0 · 2 2 = 4	0 · 2 1 = 0	1 · 2 0 = 0	1 · 2 2 = 4	1 · 2 1 = 2	0 · 2 0 = 0
4	6

Мы группируем каждые три цифры и делаем преобразование в десятичную. Конечным результатом будет то, что 100110 = 46

Но что, если у нас нет идеальных групп из 3? Например, 1001101, у нас есть две группы по 3 и одна из 1, давайте посмотрим, как поступить:

0	0	1	0	0	1	1	0	1
001	100	110
0 · 2 2 = 0	0 · 2 1 = 0	1 · 2 0 = 1	0 · 2 2 = 0	0 · 2 1 = 0	1 · 2 0 = 1	1 · 2 2 = 4	1 · 2 1 = 0	1 · 2 0 = 1
1	1	5

Следуя процедуре, мы берем группы справа от термина, и когда мы достигаем конца, мы заполняем столько нулей, сколько необходимо. В этом случае нам нужно два, чтобы завершить последнюю группу. Итак, 1001101 = 115

Преобразовать восьмеричное число в двоичное

Ну, процедура такая же простая, как и обратное, то есть переход от двоичного к десятичному в группах по 3. Давайте посмотрим на это с числом 115

значение	1	1	5
деление	÷ 2 = 0	0	0	÷ 2 = 0	0	0	÷ 2 = 2	÷ 2 = 1	-
отдых	1	0	0	1	0	0	1	0	1
группа	001	001	101

Таким образом, мы видим, что 115 = 001001101 или что то же самое 115 = 1001101

Преобразование между восьмеричной системой и десятичной системой

Теперь мы посмотрим, как выполнить процедуру перехода от восьмеричной системы счисления к десятичной и наоборот. Мы увидим, что процедура точно такая же, как в случае десятичной и двоичной систем, только мы должны изменить основание на 8 вместо 2.

Мы будем проводить процедуры напрямую с условиями с дробной частью.

Преобразовать десятичное число в восьмеричное

Следуя процедуре десятично-двоичного метода, мы выполним ее на примере 238.32:

Вся часть. Делим на базу, которая составляет 8:

номер	238	29	3
деление	÷ 8 = 29	÷ 8 = 3	-
отдых	6	5	3

Десятичную часть мы умножаем на основание, которое равно 8:

номер	0, 32	0, 56	0, 48	0, 84	0, 72	…
умножение	* 8 = 2, 56	* 8 = 4, 48	* 8 = 3, 84	* 8 = 6, 72	* 8 = 5, 76	…
Вся часть	2	4	3	6	5	…

Полученный результат выглядит следующим образом: 238, 32 = 356, 24365…

Преобразовать восьмеричное число в десятичное

Ну, тогда давайте сделаем обратный процесс. Давайте передадим восьмеричное число 356 243 в десятичное число:

3	5	6	,	2	4	3
3 · 8 2 = 192	5 · 8 1 = 40	6 · 2 0 = 6		2 · 8 -1 = 0, 25	4 · 8 -2 = 0, 0625	3 · 8 -3 = 0, 005893

Результат: 192 + 40 + 6, 0, 25 + 0, 0625 + 0, 005893 = 238, 318.

Преобразование между шестнадцатеричной системой и десятичной системой

Затем мы заканчиваем процесс преобразования между шестнадцатеричной системой нумерации и десятичной системой.

Преобразовать десятичное число в шестнадцатеричное

Следуя процедуре десятичного-двоичного и десятичного-восьмеричного метода, мы выполним ее на примере 238.32:

Вся часть. Делим на базу, которая равна 16:

номер	238	14
деление	÷ 16 = 14	-
отдых	Е	Е

Десятичную часть мы умножаем на основание, которое равно 16:

номер	0, 32	0, 12	0, 92	0, 72	0, 52	…
умножение	* 16 = 5, 12	* 16 = 1, 92	* 16 = 14, 72	* 16 = 11, 52	* 16 = 8, 32	…
Вся часть	5	1	Е	В	8	…

Полученный результат выглядит следующим образом: 238, 32 = EE, 51EB8…

Преобразовать число из шестнадцатеричного в десятичное

Ну, тогда давайте сделаем обратный процесс. Передадим шестнадцатеричное число EE, 51E в десятичное:

Е	Е	,	5	1	Е
E16 1 = 224	E · 16 0 = 14		5 · 16 -1 = 0, 3125	1 · 16 -2 = 0, 003906	E16 -3 = 0, 00341

Результат: 224 + 14, 0, 3125 + 0, 003906 + 0, 00341 = 238, 3198…

Ну, это основные способы изменить базу с одной системы нумерации на другую. Система применима к системе в любой базовой и десятичной системе, хотя они наиболее часто используются в области вычислений.

Вы также можете быть заинтересованы в:

Если у вас есть какие-либо вопросы, оставьте их в комментариях. Мы постараемся вам помочь.